Соревнования по тяжелой атлетике на Олимпиаде-60 в Риме в весовой категории до 75 кг. Весь мир готовился чествовать американца Томми Коно. «Железный гаваец» дважды выигрывал Олимпийские игры и по всем прогнозам должен был одержать победу в третий раз. Американский штангист в то время был, как сказали бы сегодня, иконой стиля. Спортсменом, которому все подражали. Он установил 24 рекорда мира в четырех весовых категориях, становился чемпионом конкурса красоты «Мистер Юниверсал». Американец был уверен в своей победе, но трехкратным чемпионом стать ему быть было не суждено.
И этот грозный соперник был повержен 26-летним казанцем Александром Курыновым, который обыграл своего соперника в одну калитку. Учащийся Казанского авиационного института сотворил настоящую сенсацию, набрав на 10 кг больше в сумме троеборья, чем Томми Коно.
«Это самый грозный штангист, с которым мне доводилось встречаться. Он достоин победы!», – сказал поверженный соперник о Курынове.
«Соревнования длились около восьми часов. Уже с первых подходов Саша буквально подавил Коно. Курынов всё делал с улыбкой, играючи, как бы шутя. Прежде всего, он переиграл Коно психологически». А это уже воспоминания старшего тренера сборной СССР Аркадия Воробьёва.
Александр успешно выступал и после Олимпийских игр. С 1961 по 1963 годы он выиграл все чемпионаты мира и Европы. Он усиленно готовился к соревнованиям в Японии, мечтал стать двукратным олимпийским чемпионом. На прикидке перед Олимпиадой Александр установил два мировых рекорда. Но на Игры его не взяли. Вместо Курынова в Токио поехал хабаровчанин Виктор Куренцов. Олимпиаду Куренцов проиграл чехословацкому спортсмену Хансу Здражиле, который заявил, что у Курынова он никогда бы не выиграл.
Непопадание в сборную сильно надломило казанца. Он уже не показывал выдающихся результатов и сосредоточился на тренерской работе. Вскоре стал старшим тренером сборной ТАССР. Именно в эти годы тяжелая атлетика стала самым популярным видом спорта в республике. В 1968 году казанец Евгений Кацура стал двухкратным чемпионом Европы и чемпионом мира.
К сожалению, старые болячки всё чаще давали знать. Легендарный олимпийский чемпион Рима Юрий Власов в своей книге «Справедливость силы» писал: «Скачки кровяного давления сказывались на его способности вести тренировки, а он их вел. И сколько я его помню, это улыбки, смех, шутки... Так именно в силовом спорте Курынов был велик. В жестком схождении силы, пробах силы ему было мало равных, совсем мало...»
В последние годы спортсмен часто болел, страдал от повышенного давления. 4 декабря 1973 года он скончался. Было ему тогда всего 39 лет.
Ежегодно в память о Александре Курынове проводятся международные соревнования по тяжелой атлетике. В октябре 2020 года в Зеленодольске в 46 раз пройдёт Всероссийский турнир по тяжелой атлетике, посвященный памяти олимпийского чемпиона.
В 1990 году на здании Казанского авиационного института в честь первого олимпийского чемпиона Татарии установлена мемориальная доска. А в 2012 году имя Курынова было присвоено одной из улиц в жилом массиве «Светлая долина» Советского района Казани.